지구는 처음부터 공처럼 둥근 모양이었을까?

푸앵카레 추측 ㅡ도우넛모양일 수도 있다

 

◈ 푸앵카레(1854~1912) 의 추측

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프랑스 수학자인 그는 지구의 모양과 우주의 형태에 대해서 의문을 갖기 시작합니다. 

어느 날 한 가지 추측을 내놓았습니다. 바로 '푸앵카레 추측'입니다. 

 

그의 주장은 이렇습니다ㅡ

"지구가 구형이 아니라 가운데 구멍이 뚫린 도넛 모양이어도,

역시 배를 타고 한 바퀴 돌 수 있다"

 

그리고 그가 새롭게 제안한 방식은 ㅡ

"배에 밧줄을 달고 지구를 한 바퀴 돈 뒤, 밧줄을 끌어당기는 것" 이었다.

"어디에도 걸리지 않고 당겨진다면 지구는 둥근 게 맞다.

하지만 밧줄이 어딘가에 걸린다면 지구는 구형이 아니라 도넛 모양일 수도 있다."

 

 

 

우주를 탐험하려면 대강의 형태를 알아야 했고,

그래서 푸앵카레는 인류에게 아주 위대한 추측을 던졌다.

"우주에 어떻게 밧줄이 놓여 있더라도, 자르거나 끊지 않고 한 점으로 모을 수 있다면

우주는 당구공과 위상동형이다. "

 

우주선에 밧줄을 달고 우주를 크게 한 바퀴 돌아 다시 지구로 귀환했을 때,

출발 당시 지구에 묶여 있던 밧줄과 도착한 밧줄 끝을 함께 잡아당겨 어디에도 걸리지 않고

끝까지 당길 수 있다면 우주의 모양은 당구공과 대충 비슷하다는 말이다.

 

(위상동형 ㅡ기존 기하학에서는 삼각형, 사각형, 원은 전혀 다르게 정의되는 도형이지만,

위상수학에서는 셋 모두 같다고 보며 위상동형이라 부른다. 

가위로 자르지 않고, 오직 조물조물 주물러 비슷한 모양으로 만들 수 있다면 전부 위상동형이다.)

 

◈ 그럼 우주는 어떤 모습일까요?. 

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우리는 지구의 모든 위치를 '위도와 경도' 단 두 가지 좌표로만 표현합니다.

지구는 3차원이지만, 지구 표면은 2차원이라는 말입니다. 우리는 2차원인 지구 표면을 여행합니다.

하지만 실제 지구는 3차원입니다.

 

만약 우주여행을 하는 것이 '4차원의 표면인 3차원을 움직이는 것'이라면 밧줄을 달고

한 바퀴 돌아서 오는 방법으로 3차원 우주 안에서 4차원 우주의 형태를 알 수 있지 않을까.

이게 바로 진짜 푸앵카레 추측입니다.

 

3차원보다 고차원인 경우에서부터 추측을 증명하기 시작합니다.

5차원 이상인 경우를 미국의 수학자 <스티븐 스메일>이 증명해서 1966년 <필즈상>을 수상합니다.

4차원에 대한 문제는 <마이클 프리드먼>이 증명해서 1986년 <필즈상>을 수상합니다.

3차원에 대한 문제는 <윌리엄 서스턴>박사가 3-다양체의 분류에 대한 연구로 1982년 <필즈상>수상.

 

'3-다양체'의 분류이 추측이 3차원에서도 풀릴 수 있음을 간접적 증명하였으나

그후로  증명이 안되는 부분을 2002년 러시아 수학자<그리고리 페렐만>이 발표한것을

<국제 수학 연맹>이 3년간 분석 끝에 페렐만의 풀이를 인정해서 2006년 필즈상 수상자로 선정되었지만,

상금100만달러(한화 12억)의 페렐만은 수상을 거부합니다.

같은 업적으로 페렐만은 2010년 3월 <밀레니엄상>수상자로도 선정되지만 역시 수상을 거부합니다.

 

3차원 공간에서 위상동형이 아닌 8가지 형태를 축출한 기하화 추측과 이를 선별해낸 미국 수학자 윌리엄 서스턴.

미국 수학자 <윌리엄 서스턴>은  3차원에서 우주의 형태가 될 만한 후보를 8개로 압축해냅니다.

이를 ‘기하화 추측’이라고 합니다. 

즉 3차원 세상에서 모든 형태는 구 모양 1개와 도넛 모양이 변형된 7개 딱 8종밖에 없고,

우주는 그중 하나의 모양이라는 뜻입니다.

 

'기하화 추측'이 증명되면 존재하는 8개의 형태 가운데 밧줄을 잡아당겼을 때

어디에도 걸리지 않는 건 구 모양뿐이니,

자연히 우주는 당구공 모양이 될 수 있으며 푸앵카레의 추측도 증명됩니다. 

그리고 2002년 11월 한 편의 논문이 올라옵니다. 바로 '기하화 추측'을 증명하는 내용이었다.

<그리고리 페렐만>ㅡ 존재하는 모든 형태를 잘라내고 부드럽게 마감 처리해

딱 8개의 형태로 표현했으며, '기하화 추측'의 증명을 통해 '푸앵카레 추측'도 함께 해결합니다.

1904년부터 98년 동안 누구도 못 했던 가설의 증명, <밀레니엄 난제>의 해결을

37세 젊은 수학자가 해낸 것이다. 

 

 

그레고리 페렐만

 

<그리고리 페렐만> ㅡ'리치 흐름'으로 펴지지 않던 각을 제거하는 '특이점 수술법'을 통해 존재하는

모든 형태를 딱 8개 형태로 표현할 수 있게 되었고, 우주의 형태가 8개밖에 없으니

그중에 밧줄을 모을 수 있는 형태는 당구공뿐.

3차원에서 '기하화 추측'과 '푸앵카레 추측'을 한 방에 증명한 것입니다.

 

마침내 2006년 푸앵카레 추측이 증명됩니다.

그러나 이는 우주의 모양을 알아냈다는 뜻이 아닙니다.

그렇다면 푸앵카레 추측이란 무엇인가? 바로 이것입니다.

'모든 경계가 없는 단일 연결 컴팩트 3차원 다양체는 3차원 구면과 위상 동형이다'